Главная - Наследство - Какие фактические знания являлись отправной точкой в исследованиях кеплера

Какие фактические знания являлись отправной точкой в исследованиях кеплера


Какие фактические знания являлись отправной точкой в исследованиях кеплера

Презентация. Законы Кеплера


Слайд 1Законы Кеплера – законы движения небесных телСлайд 2С древнейших времен считалось, что небесные тела движутся по «идеальным кривым» — окружностям. Геоцентрическая система Птолемея Клавдий Птолемей (ок. 90 – ок. 160)Слайд 3В теории Николая Коперника, создателя гелиоцентрической системы мира, круговое движение также не подвергалось сомнению. Николай Коперник (1473–1543) Гелиоцентрическая система мира КоперникаСлайд 4Наблюдаемое положение планет не соответствовало предвычисленному в соответствии с теорией кругового движения планет вокруг Солнца.

Почему? В XVII веке ответ на этот вопрос искал немецкий астроном Иоганн Кеплер . Иоганн Кеплер (1571–1630 )Слайд 5Тихо Браге (1546-1601) Иоганн Кеплер изучал движение Марса по результатам многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге.Слайд 6Эллипс определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек (фокусов F1 и F2) есть величина постоянная и равная длине большой оси.

Линия, соединяющая любую точку эллипса с одним из его фокусов, называется радиусом-вектором этой точки. Иоганн Кеплер обнаружил, что орбита Марса не окружность, а эллипс . Степень отличия эллипса от окружности характеризует его эксцентриситет , равный отношению расстояний между фокусами к большой оси: е = F1F2 / A1A2 .

При совпадении фокусов (е = 0) эллипс превращается в окружность .Слайд 7Законы Кеплера применимы не только к движению планет, но и к движению их естественных и искусственных спутников.Слайд 8Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Первый закон Кеплера: Иллюстрация первого закона Кеплера на примере движения спутников ЗемлиСлайд 9Орбиты планет – эллипсы, мало отличающиеся от окружностей, так как их эксцентриситеты малы.Слайд 10Большая полуось орбиты планеты – это ее среднее расстояние от Солнца.

Среднее расстояние Земли от Солнца принято в астрономии за единицу расстояния и называется астрономической единицей : 1 а.е.

= 149 600 000 км. Ближайшую к Солнцу точку орбиты называют перигелием (греч. пери – возле, около; Гелиос – Солнце), а наиболее удаленную – афелием (греч.

апо – вдали).Слайд 11По эллипсам движутся не только планеты, но и их естественные и искусственные спутники. Ближайшая к Земле точка орбиты Луны или искусственного спутника Земли называется перигеем (греч.

Гея или Ге – Земля), а наиболее удаленная – апогеем .

Перигей АпогейСлайд 12Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

Второй закон Кеплера ( закон равных площадей ): Иллюстрация второго закона Кеплера на примере движения спутника ЗемлиСлайд 13Перигелий Афелий М 1 М 2 М 3 М 4 Планеты движутся вокруг Солнца неравномерно: линейная скорость планет вблизи перигелия больше, чем вблизи афелия . У Марса вблизи перигелия скорость равна 26,5 км/с, а около афелия — 22 км/с.

У некоторых комет орбиты настолько вытянуты, что вблизи Солнца их скорость доходит до 500 км/с, а в афелии снижается до 1 см/с.

SСлайд 14Квадраты сидерических периодов обращений двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит: Третий закон Кеплера: Иллюстрация третьего закона Кеплера на примере движения спутников ЗемлиСлайд 15Скорости близких к Солнцу планет значительно больше, чем скорости далеких.Слайд 16Квадраты сидерических периодов обращений двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит. Третий закон Кеплера Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Первый закон Кеплера Второй закон Кеплера Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

Кеплер исследовал движения всех известных в то время планет и эмпирически вывел три закона движения планет относительно Солнца.

Механика и физика[править | править код]

Именно Кеплер ввёл в физику термин инерция как прирождённое свойство тел сопротивляться приложенной внешней силе. Заодно он, как и Галилей, формулирует в ясном виде первый закон механики: всякое тело, на которое не действуют иные тела, находится в покое или совершает равномерное прямолинейное движение[35].

Кеплер вплотную подошёл к открытию закона тяготения, хотя и не пытался выразить его математически. Он писал в книге «Новая астрономия», что в природе существует «взаимное телесное стремление сходных (родственных) тел к единству или соединению».

Точка орбиты, наиболее удаленная от Солнца, называется афелием. Отрезок, соединяющий эти две точки называется большой осью орбиты. Если разделить этот отрезок пополам, то получим большую полуось, которую чаще используют в астрономии.

Основные элементы эллипса Третий закон движения планет Кеплера звучит следующим образом: Отношение квадрата периода обращения планеты вокруг Солнца к большой полуоси орбиты этой планеты является постоянным, и также равняется отношению квадрата периода обращения другой планеты вокруг Солнца к большой полуоси этой планеты. Также иногда записывают другое отношение: Одна из записей третьего закона

Второй закон Кеплера (1609 г.):

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.Рис. 1.24.3 иллюстрирует 2-й закон Кеплера.Рисунок 1.24.3.

Закон площадей – второй закон КеплераВторой закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. На рис. 1.24.3 изображен вектор импульса тела

и его составляющие

и

Площадь, описываемая радиус-вектором за малое время Δt, приближенно равна площади треугольника с основанием rΔθ и высотой r:Здесь

– угловая скорость.Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов и

:Из этих отношений следует:Поэтому, если по второму закону Кеплера

, то и момент импульса L при движении остается неизменным.В частности, поскольку скорости планеты в перигелии

и афелии

направлены перпендикулярно радиус-векторам

и

из закона сохранения момента импульса следует:

Урок 13. Астрономия 11 класс

Вы уже знаете, что революционная идея Николая Коперника о гелиоцентрической системе мироустройства дала невероятный толчок развитию астрономии.

Однако, если вы помните, Коперник в своём учении не отказался от мыслей Аристотеля о «совершенстве» орбит планет. Лишь в начале XVII века австрийский астроном Иоганн Кеплер открыл кинематические законы движения планет.

На этом уроке мы познакомимся с формулировками трёх законов Кеплера.

А также узнаем, какую роль они сыграли для дальнейшего развития астрономии.

Третий закон Кеплера

Каждая орбита планеты имеет точку, ближайшую к Солнцу, которое называется перигелием.

Точка орбиты, наиболее удаленная от Солнца, называется афелием.

Отрезок, соединяющий эти две точки называется большой осью орбиты.

Если разделить этот отрезок пополам, то получим большую полуось, которую чаще используют в астрономии.Основные элементы эллипсаТретий закон движения планет Кеплера звучит следующим образом:Отношение квадрата периода обращения планеты вокруг Солнца к большой полуоси орбиты этой планеты является постоянным, и также равняется отношению квадрата периода обращения другой планеты вокруг Солнца к большой полуоси этой планеты.Также иногда записывают другое отношение:Одна из записей третьего закона

Второй закон Кеплера, или закон площадей

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади. Рисунок 1.24.3. Закон площадей – второй закон Кеплера. Эквивалентом второго закона Кеплера можно считать закон сохранения момента импульса.

На рисунке, расположенном выше, изображен вектор импульса тела p→ и составляющие его pr→ и p⊥→. Площадь, заметенная радиус-вектором за малое время Δt, приближенно равна площади треугольника с основанием rΔθ и высотой r: ∆S=12r2∆θ или ∆S∆t=12r2∆θ∆t=12r2ω; (∆t→0). Здесь ω=∆θ∆t; (∆t→0) – угловая скорость.

Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов pr→ и p⊥→: L=rp⊥=r(mv⊥)=mr2ω так как v⊥=rω. Из этих отношений следует: ∆S∆t=L2m, ∆t→0 Поэтому, если по второму закону Кеплера ∆S∆t=cons t, то и момент импульса L при движении остается неизменным. В частности, поскольку скорости планеты в перигелии vP→ и афелии vA→ направлены перпендикулярно радиус-векторам rP→ и rA→ из закона сохранения момента импульса следует: rPvp=rAuA

Презентация к уроку

Назад Вперёд Загрузить (2,1 МБ) Внимание!

Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации.

Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока: формирование понятия о космическом явлении – движении космических тел.

Задачи обучения: Общеобразовательные: формирование понятий: – о законах движения космических тел в центральном поле тяготения (законах Кеплера); – о траекториях движения (орбитах) космических тел и их основных характеристиках; – об астрономической единице измерения межпланетных расстояний. Воспитательные: – формирование научного мировоззрения в ходе знакомства с историей человеческого познания и объяснения причин небесных явлений, обусловленных движением космических тел. Развивающие: – формирование умений решать задачи на применение законов движения космических тел.

Ученики должны знать: – законыдвижения космических тел в центральных полях тяготения Кеплера; – освязи между формой орбиты и скоростью движения космических тел; – значение астрономической единицы расстояний. Ученики должны уметь: решать задачи на применение законов движения космических тел.

Наглядные пособия и демонстрации: презентация, для экономии времени каждый ученик заполнит рабочий лист (приложение). План урока Этапы урока Содержание Методы изложения Время, мин Проверка домашнего задания Устные ответы учащихся 7 Актуализация темы занятия Фронтальный опрос, беседа 2 Формирование понятий о движении космических тел и законах Кеплера Лекция 20 Решение задач Работа у доски, самостоятельное решение задач в тетради 10 Астрономический диктант Самостоятельная работа. Взаимопроверка работ. 3 Обобщение пройденного материала, подведение итогов урока, домашнее задание 3 Организационный момент (слайд 1) Проверка домашнего задания Устные ответы учащихся по теме “Конфигурации и условия видимости планет”, используя для ответов слайды 2,3.

Объяснение нового материала Формирование понятий о движении космических тел и законах Кеплера(слайд 4). Учащиеся делают записи на листах опорного конспекта.

До Кеплера (слайд 5) считалось, что движение небесных тел может происходить только по “совершенной кривой” – окружности. Иоганн Кеплер впервые разрушил этот предрассудок.

Используя многолетние наблюдения положения Марса, выполненные датским астроном Тихо Браге, Кеплер установил три закона движения планет относительно Солнца. I закон Кеплера (слайд 6) Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Следовательно, орбиты всех планет имеют общий фокус, расположенный в центре Солнца.

Следовательно, орбиты всех планет имеют общий фокус, расположенный в центре Солнца. Эллипс – геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух заданных, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная 2а, где а – большая полуось эллипса.

Внимание вопрос на “5” (слайд 7): Кто предложил остроумный и гениально простой способ вычерчивания эллипса с помощью двух иголок и связанной в кольцо нити?

Способ был доложен на заседании Эдинбургского Королевского общества, но не автором, потому что ему было тогда только 15 лет”.

Ответ: Джеймс Клерк Максвелл Рассмотрим важнейшие точки и линии эллипса (слайд 8,9). а – большая полуось, b – малая полуось, F1, F2 – фокусы, r – радиус вектор, А – афелий, П – перигелий.

Перигелий – ближайшая к Солнцу точка орбиты, а афелий – самая удаленная от Солнца точка орбиты. Обе эти точки лежат на большой оси орбиты по разные стороны от Солнца. Степень вытянутости эллипса характеризуется эксцентриситетом е (слайд 10).

с – расстояние от центра до фокуса, а – большая полуось. При совпадении фокусов с центром (слайд 11) (е = 0) эллипс превращается в окружность, при е = 1 становится параболой, при е > 1 – гиперболой. Орбиты планет – эллипсы (слайд 12), мало отличаются от окружностей, так как их эксцентриситеты малы.

Например, еЗемли=0,017, еМарса= 0,091. II закон Кеплера (закон равных площадей) (слайд 13).

Радиус-вектора планеты за равные промежутки времени описывает равновеликие площади. Радиус-вектор планеты – это расстояние от Солнца до планеты.

Площади S1 и S2 равны (слайд 14), если дуги описаны заодно и тоже время.

Дуги, ограничивающие площади различны, следовательно, линейные скорости движения планет будут разными.

Чем ближе планета к Солнцу, тем ее скорость больше. В перигелии скорость планеты максимальна, а в афелии – минимальна.

Таким образом, второй закон Кеплера количественно определяет изменение скорости движения планеты по эллипсу.

Первый и второй закон Кеплера были опубликованы в 1608-1609 годах. Оба закона решают задачу движения каждой планеты в отдельности.

Совершенно естественно у Кеплера возникла мысль о существовании закономерности, связывающей все планеты в единую стройную планетную систему. Только в 1618 году Кеплер нашел и опубликовал в книге “Гармония мира” эту закономерность, известную под названием третьего закона Кеплера. III закон Кеплера (слайд 15).

Квадраты периодов обращений планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их эллиптических орбит. Т1, а1 – звездный период обращения и большая полуось одной планеты, а Т2, а2 – другой планеты (слайд 16,17). Большая полуось земной орбиты (слайд 18)принята за астрономическую единицу расстояний: 1 а.

е. = 149000000000 м. Звездный период Земли 1 год = 365 суток. Этот закон имеет огромное значение для определения относительных расстояний от Солнца, так как звездный период нетрудно вычислить по известному синодическому периоду. Кеплер лишь описал, как движутся планеты, но не объяснил причин движения.

Это удалось сделать лишь во второй половине 17 века Ньютону.

Решение задач Работа у доски, самостоятельное решение задач в тетради. Задача №1. (слайд 19)Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая ось ее орбиты?

Ответ: 1,59а.е. Задача №2. (слайд 20)Какова продолжительность сидерического периода вращения Юпитера вокруг Солнца, если он в 5 раз дальше от Солнца, нежели Земля? Дидактическая игра “Веришь – не веришь” (слайд 21) Учитель читает утверждение, если ученик с ним согласен, то записывает в тетради “5”, если не согласен – “0”.

  • Законы Кеплера применимы к искусственным спутникам планет.
  • Орбиты всех планет Солнечной системы имеют общий фокус.
  • При движении планеты от перигелия к афелию скорость планеты возрастает.
  • Отношение кубов больших полуосей орбит двух планет равно 16. Следовательно, период обращения одной планеты больше периода другой в 4 раза.
  • Потенциальная энергия планеты максимальна в афелии.

Правильные ответы: 55055. (слайд 22) Домашнее задание 1) Изучить материала учебника Е.П.

Левитана § 9 (2) 2) Разгадать чайнворд “Законы Кеплера” (слайд 23)

  • Путь небесного тела в гравитационном поле другого тела.
  • Спутник Юпитера, наименьший из четырёх спутников, открытых Галилеем. Большая полуось – 671 тыс. км. Эксцентриситет – 0,0094.
  • Центральное тело Солнечной системы, вокруг которого обращаются другие объекты этой системы.
  • Мера сплюснутости эллипса.
  • Немецкий математик, астроном, оптик и астролог.
  • Точка небесной сферы, кажущаяся источником метеоров, которые наблюдаются при встрече Земли с роем метеорных тел, движущихся вокруг Солнца по общей орбите.
  • Наиболее удаленная от центра точка орбиты.
  • Малая планета Солнечной системы.
  • Имя датского ученого эпохи Возрождения. Он первым в Европе начал проводить систематические и высокоточные астрономические наблюдения.
  • Оптический прибор, предназначенный для наблюдения неба.
  • Распространённая в астрономии внесистемная единица измерения расстояния.
  • Спутник Марса. Предположение об его существовании высказал Иоганн Кеплер в 1610 году, т. е. приблизительно за 270 лет до его действительного открытия! Кеплер основывался на логике, что если у Земли есть один спутник, а у Юпитера — 4, то количество спутников возрастает в геометрической прогрессии. По этой логике, у Марса должно быть 2 спутника.

Ответы: ЭксцентриситеТихОрбитАстероиДеймоСолнцЕвропАпоцентРадианТелескоПарсеКеплер Литература: Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов – () 24.01.2012 Поделиться страницей:

Урок астрономии в 11-м классе пр теме: «Законы движения планет»

  1. , учитель физики

Разделы: Тема урока: Законы движения планет.

Цели урока:

  1. Развивающая: развивать логическое мышление, правильную речь, использовать соответствующую терминологию.
  2. Образовательная: ввести формулировки и границы применимости трёх законов движения планет (законов Кеплера).
  3. Воспитательная: достигать высокой активности класса, внимания, сосредоточенности учащихся на уроке.

Оборудование:

  1. 2 булавки,
  2. нитка,
  3. карандаш.

Эксперимент: чертёж эллипса. ХОД УРОКА I. Актуализация знаний – Здравствуйте, ребята! Садитесь! Сегодня мы с вами продолжим изучать познание неба и на уроке познакомимся с тремя законами движения планет и искусственных тел Солнечной системы.

А сейчас проверим, как вы усвоили материал прошлых занятий. II. Проверка домашнего задания (Каждому ученику по вариантам раздаются карточки с заданиями) 1 вариант() 2 вариант() 1.

Что изучает астрономия? 1. Что такое созвездия?

2. Нарисуйте схематично небесную сферу и математический горизонт и обозначьте все известные Вам точки на сфере. 2. Нарисуйте небесную сферу и обозначьте известные Вам её элементы. 3. День весеннего равноденствия. 3. День осеннего равноденствия. 4. По новому стилю 25 января 1900 г. Какая это дата по старому стилю?
Какая это дата по старому стилю? 4. По старому стилю – 25 декабря 1899 г.

Какая это дата по новому стилю? 5. На какую высоту в Москве (

Урок астрономии в 11-м классе пр теме:

= 56°) поднимается Солнце в полдень и дни равноденствия?

5. На какой высоте в Москве ( = 56°) проходит верхнюю кульминацию Денеб ( = 45°)?

III. Объяснение нового теоретического материала Заслуга открытия законов движения планет принадлежит выдающемуся немецкому учёному, астроному и математику, Иоганну Кеплеру (1571 – 1630 гг.) () – человеку большого мужества и необыкновенной любви к науке. Он проявил себя ревностным сторонником системы мира Коперника и задался целью уточнить строение Солнечной системы. Тогда это означало: познать законы движения планет, или, как он выразился, «проследить замысел Бога при cотворении мира» [1].

В начале XVII в. Кеплер, изучая обращение Марса вокруг Солнца, установил три закона движения планет.

Первый закон Кеплера Каждая планета обращается вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

или Под действием силы притяжения одно небесное тело движется в поле тяготения другого небесного тела по одному из конических сечений – кругу, эллипсу, параболе или гиперболе.

[2 ] <>. Эллипсом (<>) называется плоская замкнутая кривая, имеющая такое свойство, что сумма расстояний каждой её точки от двух точек, называемых фокусами, остаётся постоянной. Эта сумма расстояний равна длине большой оси эллипса. Точка О – центр эллипса, F1 и F2 – фокусы.

Солнце находится в данном случае в фокусе F1. Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием, самая далёкая – афелием.

Линия, соединяющая какую-либо точку эллипса с фокусом, называется радиус-вектором. Отношение расстояния между фокусами к большой оси (к наибольшему диаметру) называется эксцентриситетом е.

эллипс тем сильнее вытянут, чем больше его эксцентриситет.

Большая полуось эллипса а – среднее расстояние планеты до Солнца.

По эллиптическим орбитам движутся и кометы и астероиды.

У окружности е = 0, у эллипса 0 < е>< 1, у параболы е="1," у гиперболы е> 1.

<>. Орбиты планет – эллипсы, мало отличаются от окружностей; их эксцентриситеты малы. Например, эксцентриситет орбиты Земли е = 0,017. Второй закон Кеплера Радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади (определяет скорость движения планеты по орбите).

Скорость планеты тем больше, чем она ближе к Солнцу. [1] <>. Планета проходит путь от точки А до А1 и от В до В1 (<>) за одно и то же время. Другими словами, планета движется быстрее всего в перигелии, а медленнее всего – когда находится на наибольшем удалении (в афелии).

Так, скорость кометы Галлея в перигелии равна 55 км/с, а в афелии 0,9 км/с. Самый близкий к Солнцу Меркурий обегает вокруг светила за 88 дней. За ним движется Венера, и год на ней длится 225 земных суток.

Земля обращается вокруг Солнца за 365 суток, то есть ровно за один год. Марсианский год почти в два раза продолжительнее земного.

Юпитерский год равен почти 12 земным годам, а далёкий Сатурн обходит свою орбиту за 29,5 лет! Словом, чем дальше планета от Солнца, тем продолжительнее на планете год.

И Кеплер пытался найти зависимость между размерами орбит различных планет и временем их обращения вокруг Солнца. 15 мая 1618 года после множества неудачных попыток Кеплер установил наконец очень важное соотношение, известное как Третий закон Кеплера Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний от Солнца. [1] Если периоды обращения любых двух планет, например Земли и Марса, обозначить через Тз и Тм , а их средние расстояния от Солнца – аз и ам, то третий закон Кеплера можно записать в виде равенства: Т2м / Т2з = а3м / а3з.

Но ведь период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году (Тз = 1), а среднее расстояние Земля – Солнце принято за одну астрономическую единицу (аз = 1 а.е.). Тогда данное равенство примет более простой вид: Т2м – а3м Период обращения планеты (в нашем примере Марса) можно определить из наблюдений. Он составляет 687 земных суток, или 1,881 года.

Зная это, нетрудно вычислить среднее расстояние планеты от Солнца в астрономических единицах: Т.е. Марс находится в среднем в 1,524 раза дальше от Солнца, чем наша Земля.

Следовательно, если известно время обращения какой-нибудь планеты, то по нему можно найти её среднее расстояние от Солнца. Таким путём Кеплеру удалось определить расстояния всех известных в ту пору планет: Меркурий – 0,39, Венера – 0,72, Земля – 1,00 Марс – 1,52, Юпитер – 5,20, Сатурн – 9,54.

Только это были относительные расстояния – числа, показывающие, во сколько раз та или иная планета дальше от Солнца или ближе к Солнцу, чем Земля.

Истинные значения этих расстояний, выраженные в земных мерах (в км), оставались неизвестными, ибо ещё не была известна длина астрономической единицы – среднего расстояния Земли от Солнца. Третий закон Кеплера связал в единую стройную систему всё солнечное семейство.

На поиски ушло девять трудных лет. Победило упорство учёного! Вывод: законы Кеплера теоретически развивали гелиоцентрическое учение и тем самым укрепляли позиции новой астрономии.

Астрономия Коперника – самое мудрое из всех произведений человеческого ума. [1] Последующие наблюдения показали, что законы Кеплера применимы не только для планет Солнечной системы и их спутников, но и для звёзд, физически связанных между собой и обращающихся вокруг общего центра масс. Они легли в основу практической космонавтики, ибо по законам Кеплера движутся все искусственные небесные тела, начиная с первого советского спутника и кончая современными космическими аппаратами.

Не случайно в истории астрономии Иоганна Кеплера называют «законодателем неба». IV. Эксперимент Взять лист плотной белой бумаги и воткнуть в него две булавки. Теперь между булавками нужно натянуть с помощью карандаша нитку со связанными концами и вести карандаш по бумаге – он вычертит эллипс.
<>. Внутри эллипса есть две точки (отверстия, проколотые булавками), обладающие замечательным свойством: сумма двух линий, соединяющих эти точки с любой точкой эллипса, всегда одинакова и равна длине большой оси (т.е. наибольшему диаметру) эллипса.

Эти две точки называются фокусами эллипса, а всякая прямая линия, соединяющая фокус с любой точкой эллипса, есть радиус-вектор. Если мы разделим расстояние между фокусами на длину большой оси, получим отношение, которое называется эксцентриситетом данного эллипса. Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса.
Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем большим эксцентриситетом обладает эллипс, т.е.

чем больше расстояние между фокусами при одной и той же длине большой оси, тем более он вытянут. При эксцентриситетом, равном единице, т.е.

по абсолютной величине равном длине большой оси эллипса, последний превращается в разомкнутую кривую – параболу. С уменьшением эксцентриситета вытянутость эллипса, наоборот, уменьшается, и когда эксцентриситет становится равным нулю, эллипс превращается в круг.

V. Итог урока Повторение формулировок первого, второго и третьего законов Кеплера. VI. Домашнее задание § 117 учебника [2], вопросы после параграфа, формулировки и формулы трёх законов Кеплера, повторить выполнение эксперимента урока дома. Список литературы:

  • Коротцев О.Н. Астрономия: Популярная энциклопедия. – СПб.: Азбука-классика, 2003.
  • Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б. Физика. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни. – М.: Просвещение, 2008. (Чаругин В.М. Раздел «Астрономия», § 117)

1.02.2010 Поделиться страницей:

Мкс

Коль скоро на сайте завелись «разоблачители», утверждающие, что математика — это ересь, а гравитационного притяжения между планетами вообще не существует, давайте посмотрим, как закон всемирного тяготения позволяет описать явления, установленные эмпирическим путем.

Рекомендуем прочесть:  Предел скорости автомобиля

Ниже представлено математическое обоснование первого закона Кеплера. 1. Исторический экскурс Для начала вспомним, как вообще этот закон появился на свет.

В 1589 году некто Иоганн Кеплер (1571 — 1630) — выходец из бедной немецкой семьи — заканчивает школу и поступает в Тюбингенский университет. Там он занимается математикой и астрономией. Причем его учитель профессор Местлин, будучи тайным поклонником идей Коперника (гелиоцентрическая система мира), преподает в университете «правильную» теорию — систему мира Птолемея (т.е.

Причем его учитель профессор Местлин, будучи тайным поклонником идей Коперника (гелиоцентрическая система мира), преподает в университете «правильную» теорию — систему мира Птолемея (т.е.

геоцентрическую). Что, впрочем, не мешает ему познакомить своего ученика с идеями Коперника, и вскоре тот сам становится убежденным сторонником этой теории. Иоганн Кеплер В 1596 году Кеплер издает свою «Космографическую тайну». Хотя работа представляет сомнительную научную ценность даже по тем временам, тем не менее она не остается незамеченной для датского астронома Тихо Браге, который вел астрономические наблюдения и вычисления уже на протяжении четверти века.

Тот замечает самостоятельность мышления молодого ученого и знания им астрономии. С 1600 года Иоганн работает помощником Браге.

После его смерти в 1601 году Кеплер начинает изучать результаты трудов Тихо Браге — данные многолетних астрономических наблюдений. Дело в том, что к концу XVI века прусские таблицы (таблицы движения небесных тел, вычисленные на основе учений Коперника) стали давать существенные расхождения с наблюдаемыми данными: ошибка в положении планет доходила до 4-50. Для решения проблемы Кеплер был вынужден усложнить теорию Коперника.

Он отказывается от идеи о том, что планеты движутся по круговым орбитам, что в конечном итоге позволяет ему решить проблему с расхождением теории с наблюдаемыми данными. Согласно его выводам, планеты движутся по орбитам, имеющим форму эллипса, причем Солнце находится в одном из его фокусов. Так что расстояние между планетой и Солнцем периодически меняется.

Этот вывод известен как первый закон Кеплера.

2. Математическое обоснование Посмотрим теперь, как первый закон Кеплера согласуется с законом всемирного тяготения. Для этого выведем закон движения тела в гравитационном поле, обладающем сферической симметрией. В этом случае выполняется закон сохранения момента импульса тела $\vec{L}=[\vec{r},\vec{p}]$.

Это значит, что тело будет двигаться в плоскости, перпендикулярной вектору $\vec{L}$, причем ориентация этой плоскости в пространстве неизменна. В таком случае удобно использовать полярную систему координат $(r, \phi)$ с началом в источнике гравитационного поля (т.е. вектор $\vec{r}$ перпендикулярен вектору $\vec{L}$).

Т.е. одно из тел (Солнце) мы помещаем в начало координат, и ниже выведем закон движения второго тела (планеты) в этом случае. Нормальная и тангенциальная составляющие вектора скорости второго тела в выбранной системе координат выражаются следующими соотношениями (здесь и далее точка означает производную по времени): $$ V_{r}=\dot{r}; V_{n}=r\dot{\phi} $$ Закон сохранения энергии и момента импульса в этом случае имеют следующий вид: $$E = \frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{m(r\dot{\phi})^2}{2}-\frac{GMm}{r}=const \hspace{3cm}(2.1)$$ $$L = mr^2\dot{\phi}=const \hspace{3cm}(2.2)$$ Здесь $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса центрального тела, $m$ — масса «спутника», $E$ — полная механическая энергия «спутника», $L$ — величина его момента импульса.

Выражая $\dot{\phi}$ из (2.2) и подставляя его в (2.1), получаем: $$ E = \frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r} \hspace{3cm}(2.3) $$ Перепишем полученное соотношение следующим образом: $$ dt=\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-\frac{L^2}{2mr^2}+\frac{GMm}{r})}} \hspace{3cm}(2.4)$$ Из соотношения (2.2) следует: $$ d\phi=\frac{L}{mr^2}dt $$ Подставляя вместо $dt$ выражение (2.4), получаем: $$ d\phi=\frac{L}{r^2}\frac{dr}{\sqrt{2m(E-\frac{L^2}{2mr^2}+\frac{GMm}{r})}} \hspace{3cm}(2.5) $$ Чтобы проинтегрировать полученное выражение, перепишем выражение, стоящее под корнем в скобках, в следующем виде: $$ E-( (\frac{GMm^{3/2}}{\sqrt{2}L})^2 — \frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2} ) + (\frac{GMm^{3/2}}{\sqrt{2}L})^2=$$ $$ =E-(\frac{GMm^{3/2}}{\sqrt{2}L}-\frac{L}{r\sqrt{2mr}})^2 + (\frac{GMm^{3/2}}{\sqrt{2}L})^2=$$ $$ =\frac{L^2}{2m}(\frac{2mE}{L^2}+(\frac{GMm^2}{L^2})^2-(\frac{GMm^2}{L^2}-\frac{1}{r})^2) $$ Введем следующее обозначение: $$ \frac{GMm^2}{L^2}\equiv\frac{1}{p} $$ Продолжая преобразования, получаем: $$ \frac{L^2}{2m}(\frac{2mE}{L^2}+(\frac{GMm^2}{L^2})^2-(\frac{GMm^2}{L^2}-\frac{1}{r})^2)=$$ $$\frac{L^2}{2m}(\frac{2mE}{L^2} + \frac{1}{p^2}-(\frac{1}{p}-\frac{1}{r})^2)=$$ $$\frac{L^2}{2m}(\frac{1}{p^2}(1+\frac{2EL^2}{(GM)^2m^3})-(\frac{1}{p}-\frac{1}{r})^2) $$ Введем обозначение: $$ 1+\frac{2EL^2}{(GM)^2m^3} \equiv e^2 $$ В этом случае преобразуемое выражение принимает следующий вид: $$ \frac{L^2e^2}{2mp^2}( 1-( \frac{p}{e} (\frac{1}{p}-\frac{1}{r}) )^2 ) $$ Введем для удобства следующую переменную: $$ z=\frac{p}{e} (\frac{1}{p}-\frac{1}{r}) $$ Теперь уравнение (2.5) принимает вид: $$ d\phi=\frac{p}{er^2}\frac{dr}{\sqrt{1-z^2}}=\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}\hspace{3cm}(2.6) $$ Проинтегрируем полученное выражение: $$ \phi(r)=\int\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}=\arcsin{z}-\phi_0 $$ Здесь $\phi_0$ — конатснта интегрирования. Наконец, получаем закон движения: $$ r(\phi)=\frac{p}{1-e\sin{(\phi+\phi_0)}} $$ Положив константу интегрирования $\phi_0=\frac{3\pi}{2}$ (данное значение соответствует экстремуму функции $r(\phi)$), окончательно получаем: $$r(\phi)=\frac{p}{1+e\cos{\phi}} \hspace{3cm}(2.7)$$ $$p=\frac{L^2}{GMm^2}$$ $$e=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{(GM)^2m^3}}$$ Из курса аналитической геометрии известно, что выражение, полученное для функции $r(\phi)$, описывает кривые второго порядка: эллипс, параболу и гиперболу.

Параметры $p$ и $e$ называют, соответственно, фокальным параметром и эксцентриситетом кривой. Фокальный параметр может принимать любое положительное значение, а величина эксцентриситета определяет вид траектории: если $e\in[0,1)$, то она является эллипсом, $e=1$ соответствует параболе, а $e>1$ — гиперболе. Нулевое значение эксцентриситета соответствует окружности, радиус которой равен фокальному параметру.

Чтобы осмыслить полученный результат рассмотрим следующий пример. Пусть в роли центрального тела выступает Земля, а уравнение (2.7) описывает движение спутника вокруг нее. Пусть в некоторый момент времени этот спутник находится на расстоянии $r_0$ от центра масс Земли и имеет скорость $v_0$, так что вектор скорости перпендикулярен радиус-вектору.

Для удобства введем коэффициент $k$, равный отношению скорости $v_0$ к первой космической скорости $V_1=\sqrt{GM/r_0}$. Т.е. $v_0=k\sqrt{GM/r_0}$. В этом случае, используя (2.1), (2.2) и (2.7), получаем выражение для эксцентриситета: $$ e = \sqrt{1+k^2(k^2-2)} $$ Если $k=1$, т.е.

тело имеет скорость, в точности равную первой космической, то $e=0$ и тело движется по круговой траектории. Если $k=\sqrt{2}$, т.е. тело движется со второй космической скоростью, то $e=1$ и тело удаляется от Земли по параболе. При больших значениях коэффициента, то есть, при скоростях, превышающих вторую космическую, тело также будет удаляться от Земли, но по гиперболе.

На рисунке ниже показаны возможные траектории движения тела в центрально-симметричном гравитационном поле при различных значениях коэффициента k.

В заключение стоит отметить, что математические выкладки, представленные выше, получены из условия,что гравитационное поле обладает сферической симметрией. В реальности это не так. Например, если речь идет о гравитационном поле Земли, то оно искажается как «сплюснутостью» планеты, так и ее неоднородностью. Если речь идет о движении планет, то их взаимное притяжение также нарушает сферическую симметрию гравитационного поля.

Так что траектории движения как искусственных спутников Земли, так и планет, строго говоря, не являются эллиптическими: имеют место отклонения — так называемые возмущения орбиты. Однако орбиты все-таки остаются близки к эллиптическим.

Литература 1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб.пособие.— В10-ти т.

Т.I. Механика.—4-еизд.,испр.—М.:Наука.Гл.ред.физ.-мат.лит.,1988. 2. Энциклопедия «Космонавтика»: М.:Советская энциклопедия.

Под ред. Глушко В.П., 1985. 3. 4.

ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА

Астрономия, 11 класс С древнейших времён считалось, что небесные тела движутся по «идеальным кривым» – окружностям.

Однако в XVII в, выяснилось, что орбиты небесных тел отличаются от окружностей. Это важное открытие принадлежит Иоганну Кеплеру.

Кеплеру пришлось отказаться от кругового и равномерного движения планет.

Для определения гелиоцентрических орбит планет он использовал результаты наблюдений датского астронома Тихо Браге.

Особенно тщательно Кеплер изучал движение Марса. Итог его работ – открытие трёх основных законов движения планет. Эти законы носят имя Кеплера Солнечная система в представлении Тихо Браге Орбита каждой планеты есть эллипс, в одном из фокусов (F) которогонаходится Солнце ПЕРВЫЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА Эллиптическая орбита планеты массой m Предложить улучшение Сообщить об ошибке pptcloud.ru

Презентация «Законы движения планет Солнечной системы»

ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ Разумов Виктор Николаевич, учитель МОУ «Большеелховская СОШ» Лямбирского муниципального района Республики Мордовия 10-11 класс УМК Б.А.Воронцова-Вельяминова Многие ученые вплоть до начала XVII в.

считали, что движение небесных тел должно быть равномерным и происходить по «самой совершенной» кривой – окружности.

Иоганн Кеплер Кеплеру удалось преодолеть этот предрассудок и установить действительную форму планетных орбит, а также закономерность изменения скорости движения планет при их обращении вокруг Солнца.

В своих поисках Кеплер ис­ходил из убеждения, что «в мире правит число», высказанного еще Пифагором. Он искал соотно­шения между различными величи­нами, характеризующими движе­ние планет, — размеры орбит, период обращения, скорость. Кеп­лер действовал фактически всле­пую, чисто эмпирически.

Тихо Браге При построении орбиты Марса Кеплер воспользовался собственными наблюдениями планеты, а также многолетними определениями координат и конфигураций Марса, проведёнными его учителем Тихо Браге. Иоганн Кеплер Иоганн Кеплер Орбиту Земли Кеплер считал (в первом приближении) окружностью, что не противоречило наблюдениям.

Построение орбиты Марса Кеплером Пусть нам известно угловое расстояние Марса от точки весеннего равноденствия во время одного из противостояний планеты (α1), где Т1 и М1 – положения Земли и Марса на орбите. Спустя 687 суток (звездный период обращения Марса) планета придет в ту же точку своей орбиты.

Земля в этот момент находится в точке Т2, и, следовательно, угол α2 есть прямое восхождение Марса.

Повторив подобные операции для нескольких других противостояний Марса, Кеплер получил еще целый ряд точек и, проведя по ним плавную кривую, построил орбиту планеты.

Иоганн Кеплер Орбиту Земли Кеплер считал (в первом приближении) окружностью, что не противоречило наблюдениям.

В ходе построения орбиты планеты Марс Кеплер был поставлен перед необходимостью сделать выбор одного из двух возмож­ных решений:

  1. считать, что наблюдения таких ошибок не содержат, а орбита не является окружностью.
  2. считать, что орбита Марса представляет со­бой окружность, и допустить, что на некоторых участках орбиты вычисленные координаты планеты расходятся с на­блюдениями (из-за ошибок наблюдений) на 8′;

Кеплер установил, что орбита Марса не окружность, а кривая, которая называется эллипсом, при этом Солнце не располагается в центре эллипса.

Эллипс – кривая, у которой сумма расстояний от любой точки до его фокусов есть величина постоянная.

Иоганн Кеплер Иллюстрация первого закона Кеплера на примере движения спутников Земли Каждая планета обращается вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Первый закон Кеплера Большая полуось характеризует размер орбиты планеты. Перигелий – ближайшая к Солнцу точка орбиты.

Афелий – наиболее удалённая от Солнца точка орбиты. Второй закон Кеплера Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

Иллюстрация второго закона Кеплера на примере движения спутников Земли По мере приближения планеты к Солнцу возрастает ее скорость – увеличивается кинетическая энергия, но вследствие уменьшения расстояния до Солнца уменьшается энергия потенциальная. Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют силы тяготения, остается неизменной при любых движениях тел этой системы.

Поэтому сумма кинетической и потенциальной энергий планеты, которая движется вокруг Солнца, неизменна во всех точках орбиты и равна полной энергии. Иллюстрация третьего закона Кеплера на примере движения спутников Земли Квадраты звёздных периодов обращения планет относятся между собой как кубы больших полуосей их орбит. Третий закон Кеплера Иоганн Кеплер «То, что 16 лет тому назад я решил искать, <.> наконец найдено, и это открытие превзошло все мои самые смелые ожидания.» Иоганн Кеплер Третий закон позволяет вычислить относительные расстояния планет от Солнца, используя при этом уже известные периоды их обращения вокруг Солнца.

Не нужно определять расстояние от Солнца каждой из них, достаточно измерить расстояние от Солнца хотя бы одной планеты.

Величина большой полуоси земной орбиты – астрономическая единица (а.е.) – стала основой для вычисления всех остальных расстояний в Солнечной системе.

Задача. Противостояния некоторой планеты повторяются через два года. Чему равна большая полуось её орбиты?

Дано: S = 2 г. T1 = 1 г. а1 = 1 а.е.

Найти: а2 = ? Решение: Большую полуось планеты определяем из третьего закона Кеплера: = Вычисляем звёздный период планеты: , = , = = 2 г. Находим большую полуось планеты: = Ответ: = 1 2 3 4 Какая конфигурация планет соответствует задаче?

Вопросы (с. 62) 1. Сформулируйте законы Кеплера. 2. Как меняется скорость планеты при ее перемещении от афелия к перигелию? 3. В какой точке орбиты планета обладает

  1. максимальной потенциальной энергией?
  2. максимальной кинетической энергией;

Домашнее задание

  1. § 12.
  1. http://www.astro.websib.ru/sites/default/files/userfiles/kepler2.gif
  2. http://4put.ru/pictures/max/282/868762.gif
  3. Воронцов-Вельяминов Б.А.

    Астрономия. Базовый уровень. 11 кл. : учебник/ Б.А. Воронцов-Вельяминов, Е.К.Страут.